人教版高一年级数学下学期三单元圆的方程知识点

08-31 阅读：

　　圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。那么同学们赶快一起来看看圆的方程知识点!

　　圆的方程定义：

　　圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

　　直线和圆的位置关系：

　　1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.

　　①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.

　　方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

　　①dR,直线和圆相离.

　　2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

　　3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

　　切线的性质

　　⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;

　　⑵过切点的半径垂直于切线;

　　⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;

　　⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;

　　当一条直线满足

　　(1)过圆心;

　　(2)过切点;

　　(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.

　　切线的判定定理

　　经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

　　切线长定理

　　从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

　　圆锥曲线性质：

　　一、圆锥曲线的定义

　　1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.

　　2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.

　　3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.

　　二、圆锥曲线的方程

　　1.椭圆：+ =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)

　　2.双曲线：- =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)(其中,c2=a2+b2)

　　3.抛物线：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

　　三、圆锥曲线的性质

　　1.椭圆：+ =1(a>b>0)

　　(1)范围：|x|≤a,|y|≤b(2)顶点：(±a,0),(0,±b)(3)焦点：(±c,0)(4)离心率：e= ∈(0,1)(5)准线：x=±

　　2.双曲线：- =1(a>0,b>0)(1)范围：|x|≥a,y∈R(2)顶点：(±a,0)(3)焦点：(±c,0)(4)离心率：e= ∈(1,+∞)(5)准线：x=± (6)渐近线：y=± x

　　3.抛物线：y2=2px(p>0)(1)范围：x≥0,y∈R(2)顶点：(0,0)(3)焦点：( ,0)(4)离心率：e=1(5)准线：x=-

　　练习题：

　　1.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则该三角形外接圆方程是( )

　　A.(x-2)2+(y-2)2=20

　　B.(x-2)2+(y-2)2=10

　　C.(x-2)2+(y-2)2=5

　　D.(x-2)2+(y-2)2=

　　【解析】选C.易知△ABC是直角三角形，∠B=90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r= ，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.

　　2.已知圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )

　　A.(x-2)2+y2=13 B.(x+2)2+y2=17

　　C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20

　　【解题指南】根据题意设圆心坐标为C(a，0)，由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a，从而得到圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程.

　　【解析】选D.因为圆心在x轴上，

　　所以设圆心坐标为C(a，0)，

　　又因为圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，

　　所以r=|AC|=|BC|，可得 = ，解得a=1，

　　可得半径r= = =2 ，

　　所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.

　　3.已知实数x，y满足x2+y2=9(y≥0)，则m= 的取值范围是( )

　　A.m≤- 或m≥ B.- ≤m≤

　　C. m≤-3或m≥ D.-3≤m≤

　　【解题指南】m= 的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可得解.

　　【解析】选A.由题意可知m= 的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m≥ = 或m≤ =- .

　　故所求m的取值范围是m≤- 或m≥ .

　　4.设P(x，y)是圆C(x-2)2+y2=1上任意一点，则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )

　　A.6

　　B.25

　　C.26

　　D.36

　　【解析】选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，-4)的距离的平方，由于点P在圆(x-2)2+y2=1上，这个最大值是(|QC|+1)2=36.

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