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发布时间：03-27
科目：小学数学教学视频
时长：41:14
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课文： 数学思考
专题：
人教版六年级数学下册公开课《数学思考（一）》优质课教学视频
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人教版六年级数学下册公开课《数学思考(一)》优质课教学视频
00:10 今天我们来上一堂有意思的数学课
00:32 当遇到复杂的数学问题的时候
00:35 你们是怎么做的
00:42 分成一步一步做的
00:44 这样子会简单一些
00:47 也就是说把这个复杂的问题变简单了
00:50 再来思考是吗
00:52 好你说呃
00:54 我觉得可以用之前在课本上面学过的知识
00:58 去套这个题
00:59 就是学会用旧知识来解决
01:03 我们现在的新知识里面的问题是吗
01:07 还有吗
01:09 还有别的方法的吗
01:10 好你来嗯
01:12 可以遇到
01:13 可以用一些数学的那些嗯一些思维方法
01:17 比如每一举法倒推法哦
01:20 用我们数学中的一些方法来解决很棒
01:24 还有没有寻求帮助的
01:29 那我们刚刚第一位孩子其实就提到了
01:34 就是我国著名的数学家华罗先生所讲的善与退
01:42 足够的退退到最原始
01:45 而不是重要性的地方
01:47 是学好数学的一个诀窍
01:51 坏爷爷就是在教导我们什么呢
01:55 他是在说
01:57 当我们遇到复杂的数学问题的时候
02:00 我们可以不改变这个问题的基本性质的前提下
02:07 然后把它回到原始到最简单的状态
02:14 其实也就是把复杂的问题简单化
02:20 就在我们数学中是一种重要的化难为易思想
02:36 今天我们就要运用这个策略
02:40 用数学的方法
02:42 从数学的角度来玩一个数学游戏
02:48 在玩之前我们得先知道什么
02:52 一起来说好
02:55 那下面我们一起来看一段视频动画
02:59 了解游戏规则和玩法
03:05 粽子我们来玩一个点子连线的游戏吧
03:09 好啦卡片上有20个点子
03:13 每两个点连一条线段
03:16 总共可以连成多少条线段的
03:21 如果要你来玩
03:23 你会怎么连呢
03:24 好好想想
03:28 就是先把它一个点能连的所有点都连起来
03:33 然后再把另一个点能连的所有点都连起来
03:37 好一这样呃
03:38 重复完
03:39 直到所有都连起来
03:41 你们听明白了吗
03:43 他是在怎么练有序的连
03:46 是不是还有别的方法吗
03:50 都是这样想的
03:53 那壮壮和思思又是怎么连的呢
03:59 你们从他们的连法中又能获得哪些启发
04:04 我们接着来看这段视频
04:13 放着我们来玩一个点
04:16 上菜一碟
04:17 长了两个眼
04:18 边练边数就行了
04:20 我来吧
04:22 一条两条
04:24 三条四条五条怎么办
04:28 点子数太多了
04:30 我看不清大新姐夫连了哪些没眼壮壮
04:35 这样也太慢了
04:37 要有需有方法的脸
04:39 脸子数多就从最简单的开始
04:43 我从最右边连起
04:46 找到相邻的两个点连线
04:49 这时两个点连出了一条线段
04:53 战场到相应的第三个点
04:56 分别与前两个点连线
04:59 啊啊这两条线段是新增的
05:04 现在是三个点子
05:06 连出了三条线段
05:09 像这样一次连下去
05:11 很快就可以知道20个点的线段总条数了
05:16 我14
05:17 你好棒哦
05:19 我明白该怎么做了
05:21 谁先得出准确结果
05:23 谁先获胜
05:25 我们再来提次吧
05:31 对规则还有疑问吗
05:34 那从刚才那个视频中
05:39 你们获得了哪些启发呢
05:42 获得哪些启发
05:49 嗯我获得了嗯
05:52 不要不要不按顺序的连
05:54 要按一定的顺序
05:58 不知道好具体如果接下来要理念
06:02 你会怎么练
06:04 具体连的话
06:05 具体就是先连一个两个三个这样子去连
06:08 然后把这个表给填上
06:10 是先从几个点开始练
06:12 先从一个两个三个开始点开始练
06:15 一个点可以连
06:16 连不着两个
06:18 还是这两个点点了三个三个三个点
06:23 点完四个
06:25 这样依次连下去
06:26 然后边连边填表格
06:28 然后找到规律
06:29 是这个意思吗
06:30 嗯现在你们知道怎么连的吗
06:34 好那下面请你们拿出你们的点子图
06:40 开始限时六分钟
06:56 获胜有奖啊
06:59 我会选前三名
07:03 冠亚季军有奖品
07:06 然后
07:09 如果你连完了得出结果了
07:13 你就举手
07:15 是小组合作
07:17 我看你们都是在自个儿连自个儿的
08:03 你没电话吗
08:15 你们是
08:39 你们要合作的话
08:42 你不要合作自己说的
09:10 那你为什么出现婚礼理所做的六六
09:19 双击一下这个表
09:56 所以我就一直一直走
09:59 然后大家一对啊
10:02 怎么这个角度真的好想念小六的
10:45 期待是正常的时候
10:47 能不能先写的成功了
10:51 里面只要不是你问的什么问题
10:53 就是没有
11:22 这是给对方吗
11:39 好时间
11:39 到刚才我看到了好
11:44 巡视的时候
11:45 看到很多孩子都算出结果了
11:48 非常棒嗯
11:50 冠军组在这里
11:51 亚君主在这里
11:53 季军组在这里
11:57 那我请冠军组的这一组人员上来跟我们分享
12:02 你们坐在下面的孩子请上
12:07 请仔细
12:10 他们的和你们的想法是一样的吗
12:13 他们发现的
12:15 你们在探究的时候发现了没有
12:20 等一下好
12:23 我一个连一个说对着大家说
12:29 不要表你就连你说我在这里来板书可以吗
12:35 好
12:46 嗯首先我们是要用找规律的方法
12:49 所以我们先从规则
12:51 规则规定的最少的点数开始
12:54 也就是两个点
12:55 两个点之间可以连一条线
12:57 所以点数就是二
12:59 新增的条数没有的时候是零
13:01 所以新的条数就是一
13:07 总总条数就是一
13:09 反正我们是从两点开始
13:11 我们也可以考虑性增强数
13:12 这是没有
13:13 对不对对
13:15 这个时候我们到了三个点
13:17 三个点的话
13:18 那么我们就需要对原来的两个点进行连线
13:22 这个时候增加了应该是增加了两个两条线
13:27 总条数就应该是三
13:29 也就是1+2=3
13:32 嗯继续到四个点的时候
13:35 我们新增这个点要跟原来的三个点进行连线
13:39 也就是增加了三条
13:41 所以就是四个点的时候
13:43 新增条数为三
13:44 也就是总条数就应该是嗯3+3=6
13:49 嗯这个时候我们其实已经找到规律了
13:52 但是为了方便我们可以再连一个嗯
13:54 也就是嗯第五个点
13:56 第五个点要跟原来的四个点连接
13:59 这个时候就会新增四条线
14:02 所以总条数就是4+6=10
14:07 嗯然后这个时候我们可以来观察一下
14:10 这个新增条数跟点数有什么嗯关系
14:14 嗯我们通过前面的就可以看得到
14:17 点数是二的时候
14:19 新增条数是一
14:20 点数是三的时候
14:21 新增条数是二
14:22 点数是四的时候新增条数是三
14:24 所以我们就可以得出嗯新可以这样
14:34 嗯所以这个时候我们就知道
14:36 你看比如说我们拿四个点的时候
14:40 他就应该总条数应该是1+2+3
14:43 也就是六条
14:44 也就是说应该要最开始的一条加上嗯
14:49 这个三怎么来的
14:51 三也就是1+2
14:52 1+2
14:56 所以也就六就是1+2+3得出来的
15:05 十就是1+2+3+4得出来的
15:08 你们发现了没有
15:11 你们自己在
15:15 嗯所以这个时候我们就能够发现
15:18 当我们把每一个这个条数右边的这个算式嗯
15:22 他嗯他的那个加的加数的最大值
15:26 也就是比如说这个10=1+2
15:28 加3+4就是四
15:30 也就是最新的新的鸟数就应该等于点子数减一
15:35 你发现了他发现了新村曹书和电子书的关系
15:41 好再说嗯继续
15:43 这个时候我们就已经知道国内律了
15:45 那么我们就可以求20个点了啊
15:49 新增条数就应该是20-1=19
15:56 然后所以总条数就应该是嗯
16:00 就应该是嗯1+2+3+4
16:05 一直加到19
16:10 最后我们得出来的就应该是是190
16:20 嗯所以这个就是我们这个整体的思路
16:25 这一组好不好
16:26 太精彩了
16:28 好下次来奖品拿下去
16:38 刚刚那一组同学在分享的时候
16:43 我听到了他说点一组关系式
16:48 新增条数等于点子数减一是吗
16:52 那你们想一想
16:55 为什么新增条数比点子数要少一呢
17:02 你们在连的时候有没有找到这个原因
17:05 那下面李老师这里有一个法宝
17:08 可以直观形象的帮你们找到这个原因
17:12 我们来看
17:16 现在是两条两个点连成一条线段
17:21 下面李老师加一个点
17:25 然后再连线
17:28 你发现了什么
17:31 你说嗯
17:33 我发现每加一个点就是和原先的两个点做连接
17:39 所以每加一个点
17:41 都是和原来的那么x个点做连接哦
17:47 我听明白啊
17:49 他说的你听明白了吗
17:51 我大概能领悟
17:52 但是好像表述的有点不太标准吧
17:56 那你来说一说啊
17:59 因为它新增的那个点是不能连自己的
18:04 只能连之前没连过的那几个点
18:08 所以他之前没人过这两个点
18:13 所以就赢了
18:16 所以
18:20 总之会比点数少一是这样的吧
18:27 好这里明白了
18:28 那我们接着再往下加点
18:31 再来看看你能发现什么没有加一个点也行
18:40 这个六怎么来的
18:44 六怎么来的
18:46 刚刚他们说过了
18:47 看图可以直观的看出来吧
18:52 是不是原来的
18:53 是不是把这些不同颜色的点的线段
18:58 加起来就可以了
18:59 黑色的有一条粉色的
19:03 这个紫色的三条啊
19:06 这个粉色的是三个点的时候新增的
19:11 对不对
19:11 这个紫色的是四个点的时候
19:14 新增的
19:14 是不是
19:15 就是从一开始
19:16 依次把每一每一次的新增条数加起来就可以了
19:21 是不是好
19:23 那现在你发现了
19:25 点子数和总条数之间有什么关系吗
19:31 有没有
19:33 那我再来讲
19:39 总条数十是怎么来的
19:45 加二一直加到
19:50 现在要你们找总条数和点子数之间的关系
19:56 找到了吗
19:59 你们知道这个规律了
20:04 有谁知道的好
20:06 那位女生把话筒递给他
20:11 我发现总条数等于一
20:14 加到点子数减一
20:17 你们发现了没有
20:19 是不是
20:20 你看我再来一个加一个点连线
20:27 电子收视几
20:31 15是怎么来的
20:32 是1+21直加到五得到的
20:37 对不对
20:37 是不是1+2
20:39 1+3+4+5
20:42 所以这个我是不是6-1得到的好
20:48 那这个问题我们就解决了
20:51 而且我们的规律也已经总结出来了
20:56 下面我们一起再来说一说
20:59 点子数和新增条数之间的关系是什么
21:02 一起来说
21:06 远行队队员行队祝福
21:11 总条数和点子数之间的关系是什么
21:16 57+2+1+六点数学
21:22 第九天好
21:23 我来采访几个孩子
21:25 这里好像有些孩子在那里浑水摸鱼的感觉
21:29 来谁说
21:33 总条数啊
21:37 总条数和点和总条数等于电子数
21:47 总条数等于哎呀
21:49 我忘了没听好
21:52 那也就是说你还不太清楚是吗
21:55 那我们来看一下这组这组数据
21:58 来周子轩看着这边总条数
22:04 你看我们就看这个十条怎么来的啊
22:07 以五个点的为例
22:08 十怎么来的
22:10 是从1+2+3+4得来的
22:15 这个四是什么
22:16 和点子数有关吗
22:18 私是什么
22:22 四和点子数相等吗
22:24 这里是不是和新增条数相等
22:30 那我告诉我只已知的点子数是五
22:34 你得给我求出总条数呀
22:36 那这个四和点子数之间有什么关系
22:41 点子数减一对不对
22:43 所以也就是说
22:44 总条数和点子数之间的关系是什么
22:48 总条数和点子等于贬值数
22:56 从一开始一直加到十
23:03 一直加到点子数减一
23:06 现在明白了吗
23:08 你看那个四是不是就是点子数减一
23:10 前面的数就是1+2+3
23:12 一直加到
23:13 你看这个我们再来看这个20个点
23:16 20个点的时候
23:18 你看是不是总条数是不是1+2+3
23:22 一直加到什么19
23:24 这个19是不是就是20-1
23:26 点子数减一是不是好
23:29 所以我们得到的总条数和点子数
23:33 之间的数量关系是这样的好
23:38 那现在我们找到这个规律了
23:40 那请问如果是n个点子的话
23:44 你能告诉我新增条数和总条数分别是多少吗
23:49 你来
23:54 应该是一个
23:56 那应该是n减一的好处
23:59 a减一
24:00 同意吗
24:01 总总条数是一加到n n n减一的差
24:09 1+2+3
24:11 一直加到n减一的差
24:14 你们都是这么想的吗
24:16 好老师把它记录下来
24:37 我觉得这个算式好复杂呀
24:40 怎么算啊
24:41 谁有想法
24:48 你来可以运用等差数列求和公式啊
24:55 首项加末项乘项数除以二
24:57 哇
24:58 你的知识面真广
25:00 这就是高斯求和
25:03 是不是好
25:04 那下面我们来听一听高斯求和的故事
25:14 一位世界著名的数学家帅高夫
25:17 他上学时老师
25:24 聪明的少年高斯又对称思想算出了和
25:31 那你们还有其他的想法吗
25:36 计算这个算式的结果
25:38 还有没有别的想法
25:39 你说呃我觉得可以把那个呃
25:47 嗯就是把那些一和九之类的
25:51 就是这种数拼在一起
25:53 凑成一个整数
25:54 然后再这样相加
25:56 嗯或者整版
25:59 那你这样这里是n减一呀
26:02 你怎么去凑
26:09 哦那其实啊我们还可以通过借助图形的直观性
26:16 来求和数形结合我们来看
26:25 同学们对于1+2+3+4+5
26:29 一直加到a5
26:30 解密的插手自然数列之
26:35 用一个圆片表示一
26:37 那么二就是
26:43 依次打下去
26:44 一直想要退隐的第一个原神
26:48 这样又摆成了一个层次
26:50 是这个三角形中有多少个圆片
26:55 那道和就是多少
26:57 怎么来求原片总数呢
27:00 把这个三角形倒过来的
27:03 再把这两个三角形你发现了什么
27:08 是的
27:09 一直在知道平行的原型
27:12 在这个平行每一层的原理是不是相等的
27:17 我们来看第一层蓝色圆片
27:20 有一个橙色圆片
27:21 有一合起来就是n个
27:27 总共有n减a一个
27:30 那么这个平行四边形中就有a原配数
27:37 也就是a减一的差
27:41 那么一个三角形中的原片数
27:44 就应该用n乘n减一的差
27:47 等除以二
27:49 这个自然数列之和就是n乘n
27:54 数形结合的好妙不妙
27:58 那我们刚刚用两种方法都求算出来
28:02 它的结果是一起来说
28:07 是enter ann减一的差除以二
28:16 那下面前面我们这个190到底对不对呢
28:21 我们用这个公式来验算一下
28:25 那你来说嗯
28:27 跟这根据算式嗯
28:30 一首项加末项乘以项数除以二
28:33 也就是等于1+19乘以乘乘以一
28:39 加19的和乘以10÷2
28:47 同意吗
28:48 刚刚他说的好像是不是哪里有问题了
28:51 好你好像发现了
28:53 你来说说呃
28:55 他那里存的那个像素应该是19
28:58 而不是十
29:01 也就是这个194是等于呃
29:06 1+19的和乘29
29:08 再除以
29:11 20 20 20十十10 11百90
29:17 看来这个结果是正确的
29:21 那下面我们来回顾我们刚刚这个探究过程
29:26 我们是从简单的两个点
29:30 三个点
29:31 四个点
29:31 五个点
29:32 然后通过观察对比分析
29:37 找出内在的规律
29:39 最后解决了这个复杂的问题
29:42 这其实就是我们最开始所讲的话难唯一思想
29:47 那接下来我们就趁热打铁
29:51 继续往下思考
29:58 请你们仔细观察下图
30:00 想一想第七幅图有多少个棋子
30:07 怎么来的
30:10 就是因为它的边长可以把它打坐
30:15 是1234567
30:17 一直到七之后呢
30:18 它的边长就是七
30:19 它是正方形嘛
30:21 就可以用变化呃
30:22 正方形的那个球面积和公式7x7=49
30:26 也就是说你是从前面这几幅图中发现了什么
30:31 发现了规律
30:32 那你发现的规律是什么呢
30:33 具体来说一说
30:35 就是第一幅图它的边长是一
30:39 所以他也可以说他的乘积是11x1
30:45 也就有一个其第二个它的边长是22x2
30:51 就有四个棋子
30:53 第三个是边长是三
30:55 那就是3x3=9个棋子
30:57 第四个呃
30:59 每边有四
31:00 边长是四
31:01 那就是四四十六有16个棋子
31:04 刚刚我听到他说边长
31:07 但是这道题里面没有说边长
31:09 那你的边长其实就是指的是什么
31:12 在这段在刚刚里面
31:14 在这道题里边边的格子数
31:16 每边的棋子数是不啊
31:19 每边的棋子与什么是相等的
31:25 没别的
31:27 第四幅图
31:29 第三图的什么图的是什么图的标号的序号
31:37 对不对
31:38 所以就是说图的序号和每个图中
31:42 每边的棋子数是一样的
31:45 那第七幅图
31:46 那肯定就是每边有几几个七个
31:50 所以就是七乘七四十九个
31:53 第15幅图显而易见
31:56 那下面第幅图有多少个棋子
31:59 你说n乘n个棋子等于n方个n的平方根
32:08 非常棒
32:10 唉呀这个问题对于你们来讲太简单了
32:14 好下面我们来看这些数
32:18 结合图形来看的话
32:20 这些图形都是一些什么正方形
32:23 那像这样的数我们就叫正方形数
32:29 接下来这个问题就有点难了
32:34 脑洞大开
32:35 计算1/2+1/4
32:38 加1/8
32:39 加1/16
32:40 加1/32
32:41 加1/16
32:42 一直加诶
32:43 后面的数不知道是什么了
32:45 要你来算
32:46 你算得出来吗
32:48 一小组讨论
32:51 一个大组
32:51 一个大组的讨论两分钟
32:55 两分钟之后来汇报啊
33:11 分分一半的一半的一半都是这里
33:16 这个视频在这里有点问题
33:18 那个方框是省略号
33:21 然后再等于
33:26 不是没有带n
33:28 就是加后面是省略号
33:30 这里我改一下啊
33:33 0.99循环
33:35 60多岁的女人
33:38 后面的小学还在我肩膀
33:41 对后面没有数的
33:42 就是加省略号
33:44 然后等于几等于三零
34:17 就是一直这么讲下去
34:19 讲到光头表示省略号分支省略号减一
34:24 是的将近肯定是老板换一个
34:39 一位
34:47 好好时间到刚刚的讨论很激烈
34:52 我我听到了各种不同的答案
34:58 谁来说说你的想法
35:03 好吴镇宇
35:04 你先来说吧
35:05 呃他这里是从11/2直往后加
35:09 也就是他第一个数是1/2
35:11 第二个数是1/4
35:13 1/4
35:13 也就是1/2的一般
35:17 然后呢我们要求这个这个算式的得数是多少
35:23 也就是1/2+1/4=3/4
35:27 3/4+1/8=7/8
35:30 你会发现它的分子永远比分母少一
35:35 所以最后得出得数
35:37 我觉得应该是n n分之n减一
35:45 是只要一直加班好
35:49 还有还有不同的想法吗
35:53 你说嗯如果一直
35:57 如果假设这个后面是一直加到n
36:00 也就是因为1/2是一的一半
36:04 然后1/4又是1/2的一半
36:07 所以这样加下去就会无限的接近这个一
36:10 然后但又不是一
36:12 所以应该是一减n
36:17 他说一减m分之一
36:20 还有不同的想法来
36:22 我觉得应该就等于一
36:24 借着他们之前的思路
36:26 假设嗯
36:27 嗯这个省略号代表的意思就是无限的加下去
36:30 那么嗯首先我们先看加到1/64
36:33 加到1/64
36:34 经过第一位同学的那个说法
36:36 就应该是结果就应该是1-1/64的差
36:40 所以我们继续往后面加下去
36:42 一直加下去
36:43 那么就应该是等于一减去最后一个数一
36:48 但嗯但是呢我们如果一直加下去
36:50 这个数就会无穷的小
36:52 所以说他就应该直接等于一了
36:58 他就刚刚那位同学讲的
37:01 反正你们是不是从前面已知的简单的瘦肉
37:05 然后你们就放心了
37:08 加出来前面已知的是是64分之六十三
37:12 好像找到点规律了是吧好
37:15 那下面我们来看图看一个视频啊
37:21 这个是圆就是单位一是不是
37:29 把前面已知的数全部给你加了一遍
37:42 然后接着他是不是会一直这样加下去
37:46 一直加一直加
37:47 那是不是就是一个什么
37:49 又是一个什么
37:51 就是一个圆
37:52 对不对
37:53 这个圆就是这一个什么
37:55 就是单位一呢
37:56 就是这一个整体
37:57 所以就是几
38:03 无限加下去
38:05 所以就是一
38:10 今天的课我们就新课就学完了
38:16 那上面学完这堂课之后
38:20 以后
38:21 遇到复杂的数学问题
38:24 你会怎么去解决了
38:28 你会怎么去解决
38:29 你说我要这个问题变得越来越简单
38:34 最后我们一下就能算出来了
38:38 化难为简
38:40 化难为易
38:42 化难为简也行
38:43 同一个意思好
38:45 那其实这堂课是我们6年级下册总复习的内容
38:50 在请你们想一想我们以前学过的哪些数学问题
38:57 用到了这个思想呢
39:02 你好积极
39:03 很简单的一个点
39:05 我们刚刚学的语言的面积
39:07 圆的面积怎么说
39:09 圆的面积就是我们没有办法直接把它给求出来
39:13 但是我们之前是通过找规律找到它的周长
39:16 所以圆的面积我们就只需要把它给切开
39:19 把给平常我们已经学过的平行四边形
39:21 就能求出来
39:23 那这个不是知识的迁移吗
39:30 患难为一
39:37 就有一些数列的话
39:38 你可以呃进一步来找出它的规律
39:42 然后呢用找到的规律来呃做出来这道题非常棒
39:49 就是你们课外学习的一些比较长的一些数列
39:52 求和的这样一些式子是吧
39:55 好
39:56 其实我们课本里边我们以前学过的
40:00 李老师总结出来了
40:03 有这么几个植树问题
40:07 是不是的
40:08 只是问题
40:09 你看哎一段1百米的小路
40:12 哎呀这个研究起来太长了太难了
40:15 我们就简单一点来考虑
40:17 从20米开始
40:19 是不是把1百米变成20米
40:22 是不是研究起来更简单了
40:27 鸡兔同笼
40:31 鸡兔同笼
40:33 原来有鸡有兔子
40:35 哎呀那个腿脚数不一样
40:39 好像有点难
40:40 对不对
40:41 那我们假设全是鸡
40:43 或者假设全是兔子
40:45 这样思考是不是就简单一些
40:49 找次品的问题是不是的
40:57 好那其实肯定还有其他的艺术学
41:02 数学问题也是用到这种思想的
41:05 那你们在课后可以再仔细去探讨研究好
41:09 今天我们这节课就上到这里下课
